Гимнастика ума, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

На рисунке 158 изображены квадраты со сторонами 10 см, 9 см, 7 см и 4 см. Известно, что сумма площадей двух красных частей равна 112 $cm^2$. Найдите сумму площадей двух зеленых частей.

Рис. 158

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом, основанным на площадях фигур. Основная идея заключается в том, что площадь видимой части фигуры равна ее полной площади за вычетом площади перекрытия.

1. Вычисление суммарной площади красных и зеленых квадратов

Сначала найдем общую площадь, которую занимали бы красные и зеленые квадраты, если бы они не пересекались. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

В задаче даны два красных квадрата со сторонами 10 см и 7 см. Их суммарная площадь составляет:

$S_{красных\_полная} = 10^2 + 7^2 = 100 + 49 = 149$ см².

Также даны два зеленых квадрата со сторонами 9 см и 4 см. Их суммарная площадь составляет:

$S_{зеленых\_полная} = 9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97$ см².

2. Вычисление суммарной площади пересечений (желтых частей)

Площадь видимых красных частей — это полная площадь красных квадратов за вычетом тех их областей, которые перекрыты зелеными квадратами. На рисунке эти области пересечения окрашены в желтый цвет. Обозначим их суммарную площадь как $S_{желтых}$.

Таким образом, можно записать следующее соотношение:

$S_{красных\_частей} = S_{красных\_полная} - S_{желтых}$

По условию задачи, сумма площадей двух красных частей равна 112 см². Подставим это значение в формулу:

$112 = 149 - S_{желтых}$

Из этого уравнения мы можем найти суммарную площадь желтых частей:

$S_{желтых} = 149 - 112 = 37$ см².

3. Вычисление суммы площадей двух зеленых частей

Аналогично, площадь видимых зеленых частей — это полная площадь зеленых квадратов за вычетом тех их областей, которые перекрыты красными квадратами. Это те же самые желтые части, площадь которых мы только что нашли.

$S_{зеленых\_частей} = S_{зеленых\_полная} - S_{желтых}$

Теперь подставим известные значения, чтобы найти искомую сумму площадей:

$S_{зеленых\_частей} = 97 - 37 = 60$ см².

Ответ: Сумма площадей двух зеленых частей равна 60 см².