Номер 10, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения

$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=1.$

Дано уравнение:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 1$

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$. Применим её ко второму слагаемому, в котором $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$

Из этого следует, что $\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = 1$

Сложим одинаковые слагаемые:

$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = 1$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого уравнения являются углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности этим значениям соответствуют углы вида $\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, получаем общее решение для аргумента синуса:

$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$-\frac{x}{2} = \frac{k\pi}{2}$

Умножим обе части на -2, чтобы выразить $x$:

$x = -k\pi$

Поскольку $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые числа. Для удобства можно заменить $-k$ на $n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$x = n\pi$

Теперь необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим различные целые значения $n$. При $n \ge 0$ корни будут неотрицательными ($0, \pi, 2\pi, \ldots$). Отрицательные корни получаются при $n < 0$. Например, при $n=-1$ имеем $x=-\pi$, при $n=-2$ имеем $x=-2\pi$ и так далее. Ряд отрицательных корней: $\ldots, -3\pi, -2\pi, -\pi$. Наибольшим из них является $x = -\pi$.

В условии задачи требуется указать корень в градусах. Переведем найденный корень из радиан в градусы, используя соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$:

$x = -\pi \text{ рад} = -180^\circ$

Ответ: -180